Sifat-Sifat Eksponen, Pengertian, Fungsi, dan Contohnya

Dalam materi mata pelajaran matematika, terdapat bilangan eksponen yakni adanya bilangan berpangkat untuk meringkas penulisan yang berukuran terlalu besar atau terlalu kecil.

Simak berikut penjelasan mengenai eksponen beserta sifat dan contohnya, dilansir dari modul Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan (Kemdikbud).

Pengertian Eksponen

Dalam buku Contekan Rumus Matematika oleh Bagus Sulasmono disebutkan bilangan eksponen adalah bilangan yang mengandung pangkat atau secara singkat disebut bilangan berpangkat.

Eksponen adalah bentuk perkalian suatu bilangan dengan dirinya sendiri secara berulang-ulang.

Eksponen merupakan salah satu konsep dasar dalam matematika yang menggambarkan kuatnya suatu bilangan atau variabel.

Eksponen dituliskan sebagai suatu angka yang mengikuti variabel yang akan dipangkatkan.

Contohnya, pangkat 2 dari bilangan 4 dituliskan sebagai 4². Ini berarti bahwa bilangan 4 akan dikalikan dengan dirinya sendiri 2 kali, atau 4 x 4 = 16.

Eksponen dapat juga berupa bilangan negatif atau desimal yang menyatakan pembagian dengan pangkat yang sama dengan bilangan tersebut.

Misalnya, 4^(-2) merupakan pembagian dari 1 dengan pangkat 2 dari bilangan 4, atau 1/(4 x 4) = 1/16.

Adapun bentuk umum eksponen atau rumus eksponen adalah sebagai berikut.

𝑎^b, dengan syarat a ≠ 1 dan b ϵ R

Dari penulisan bentuk di atas, a disebut sebagai basis atau bilangan pokok dasar, sedangkan b disebut sebagai pangkat atau eksponen. Jika b termasuk bilangan bulat positif, maka ab bisa dinyatakan seperti berikut.

𝑎^b = (a x a x a x a x a) ~b kali

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan dari bilangan eksponen dengan pangkat yang memuat suatu fungsi.

Persamaan eksponen juga diartikan sebagai persamaan perpangkatan yang bilangan pangkatnya mengandung variabel sebagai peubah. Bentuk-bentuk persamaan eksponen:

1. Persamaan 𝑎^𝑓(𝑥) = 𝑎 ^𝑝

Jika 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1, maka 𝑓(𝑥) = 𝑝

Contoh:
3^𝑥 = 3⁵
𝑥 = 5

2. Persamaan 𝑎^𝑓(𝑥) = 𝑎^𝑔(𝑥)

Jika 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1, maka 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

Contoh:

2^𝑥+2 = 2^2𝑥+3
𝑥 + 2 = 2𝑥 + 3
𝑥 = −1

3. Persamaan 𝑎^𝑓(𝑥) = 𝑏^𝑓(𝑥)

Jika 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0 , 𝑏 ≠ 1, dan 𝑎 ≠ 𝑏, maka 𝑓(𝑥) = 0

Contoh:

2^𝑥+1 = 3^𝑥+1
𝑥 + 1 = 0
𝑥 = −1

4. Persamaan 𝑎^𝑓(𝑥) = 𝑏^𝑔(𝑥)

Penyelesaian diperoleh dengan mencari logaritma kedua ruas

Contoh:

2^3𝑥+1 = 10^3𝑥
log 2^3𝑥+1 = log 10^3𝑥
(3𝑥 + 1) log 2 = (3𝑥) log 10
(3𝑥) log 2 + log 2 = (3𝑥) (log 2 + log 5)
(3𝑥) log 2 + log 2 = (3𝑥) log 2 + (3𝑥) log 5
log 2 = (3𝑥) log 5
3𝑥 = log 2 / log 5
5 log 2 = 3𝑥
𝑥 = 1 / 3^{5 log 2}

Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan Eksponen merupakan bentuk lain dari Persamaan Eksponen, tetapi tanda penghubungnya menggunakan tanda ketidaksamaan.

Tanda ketidaksamaan yang sering digunakan adalah <, >, ≤, 𝑑𝑎𝑛 ≥.

Sifat-sifat dasar pertidaksamaan eksponen:

1. Untuk bilangan pokok 𝑎 > 1

1. Jika 𝑎^𝑓(𝑥) < 𝑎^𝑔(𝑥) maka 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥)
2. b. Jika 𝑎^𝑓(𝑥) > 𝑎^𝑔(𝑥) maka 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥)

2. Untuk bilangan pokok 0 < 𝑎 < 1

1. Jika 𝑎^𝑓(𝑥) < 𝑎^𝑔(𝑥) maka 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥)
2. Jika 𝑎^𝑓(𝑥) > 𝑎^𝑔(𝑥) maka 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥)

3. Pertidaksamaan eksponen yang diselesaikan dengan menggunakan pertidaksamaan kuadrat

Jika 𝑝 x 𝑎^2𝑥+𝑞 x 𝑎^𝑥+𝑟 ≤ 0, maka:

Tetapkan 𝑎 > 0 Sehingga bentuknya menjadi 𝑝𝑥^{2+𝑞𝑥+𝑟} ≤ 0

Kemudian, selesaikan menggunakan konsep pertidaksamaan kuadrat dengan langkah-langkah:

• Tentukan nilai 𝑥₁ dan 𝑥₂ dari persamaan kuadrat 𝑝𝑥^{2 + 𝑞𝑥 + 𝑟} = 0 dengan 𝑥₁ > 𝑥₂
• Maka penyelesaiannya dari:
  𝑝𝑥^{2 + 𝑞𝑥 + 𝑟} > 0 adalah 𝑥 < 𝑥₁ atau 𝑥 > 𝑥₂
  𝑝𝑥^{2 + 𝑞𝑥 + 𝑟} ≥ 0 adalah 𝑥 ≤ 𝑥₁ atau 𝑥 ≥ 𝑥₂
  𝑝𝑥^{2 + 𝑞𝑥 + 𝑟} < 0 adalah 𝑥₁ < 𝑥 < 𝑥₂
  𝑝𝑥^{2 + 𝑞𝑥 + 𝑟} ≤ 0 adalah 𝑥₁ ≤ 𝑥 ≤ 𝑥₂

Sifat-Sifat Eksponen

Bilangan eksponen memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

1. Sifat Penjumlahan Pangkat

Sifat penjumlahan pangkat hanya berlaku jika mengalikan dua eksponen atau lebih dengan basis yang sama. Jika basis tidak sama maka sifat ini tidak berlaku.

2. Sifat Pengurangan Pangkat

Sifat pengurangan pangkat hanya berlaku jika membagi antara dua eksponen atau lebih dengan basis yang sama. Sama seperti sifat penjumlahan pangkat, jika basis tidak sama maka sifat ini tidak berlaku.

3. Eksponen Nol

Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan nol, maka hasilnya adalah 1, kecuali bilangan tersebut adalah 0, maka hasilnya adalah undefined (tidak terdefinisi).

4. Eksponen Negatif

Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan bilangan negatif, maka hasilnya adalah pembagian dari 1 dengan pangkat yang sama dengan bilangan tersebut. Misalnya, 4^(-2) = 1/(4 x 4) = 1/16.

5. Eksponen Desimal

Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan bilangan desimal, maka hasilnya adalah akar pangkat yang sama dengan bilangan tersebut. Misalnya, 4^(1/2) = √4 = 2.

6. Eksponen Bilangan Bulat Positif

Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan bilangan bulat positif, maka hasilnya adalah bilangan tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak bilangan bulat tersebut. Misalnya, 4³ = 4 x 4 x 4 = 64.

7. Eksponen Bilangan Bulat Negatif

Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan bilangan bulat negatif, maka hasilnya adalah pembagian dari 1 dengan pangkat yang sama dengan bilangan tersebut. Misalnya, 4^(-3) = 1/(4 x 4 x 4) = 1/64.

8. Eksponen Pangkat Satu

Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan 1, maka hasilnya adalah bilangan tersebut sendiri. Misalnya, 4¹ = 4.

9. Eksponen Pangkat Dua

Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan 2, maka hasilnya adalah bilangan tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri. Misalnya, 4² = 4 x 4 = 16.

10. Eksponen Pangkat Tiga

Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan 3, maka hasilnya adalah bilangan tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak 3 kali. Misalnya, 4³ = 4 x 4 x 4 = 64.

Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen adalah fungsi matematika yang menggambarkan hubungan antara bilangan yang dipangkatkan dengan eksponen yang diberikan.

Fungsi eksponen dapat dituliskan dengan notasi f(x) = ax, di mana a adalah basis dari fungsi tersebut dan x adalah eksponen yang diberikan.

Contohnya, jika a = 2, maka fungsi eksponensial adalah f(x) = 2^x.

Fungsi eksponen memiliki beberapa sifat yang penting, di antaranya:

• Fungsi eksponen selalu bernilai positif untuk semua nilai x yang tidak negatif.
• Fungsi eksponen dengan basis yang sama akan selalu memiliki bentuk yang sama, hanya nilai yang berbeda.
• Fungsi eksponen dengan basis yang lebih besar akan selalu tumbuh lebih cepat daripada fungsi eksponen dengan basis yang lebih kecil.
• Fungsi eksponen dengan basis yang lebih kecil akan selalu tumbuh lebih lambat daripada fungsi eksponen dengan basis yang lebih besar.
• Fungsi eksponen dengan basis yang sama akan selalu memiliki grafik yang sama, hanya skala yang berbeda.

Contoh Soal Eksponen

Berikut beberapa contoh soal eksponen beserta jawabannya.

Contoh 1

Tentukan nilai dari fungsi eksponen f(x) = 2^x untuk x = 3 dan x = 4

Jawab:
Untuk x = 3, f(x) = 2³ = 8.
Untuk x = 4, f(x) = 2⁴ = 16.

Berikut ini adalah beberapa contoh soal eksponen yang dapat Anda coba:

Contoh 2

Tentukan nilai dari fungsi eksponen f(x) = 3^x untuk x = 2 dan x = 3.

Jawab:
Untuk x = 2, f(x) = 3² = 9.
Untuk x = 3, f(x) = 3³ = 27.

Contoh 3

Tentukan nilai dari fungsi eksponen f(x) = 5^x untuk x = -2 dan x = -3.

Jawab:
Untuk x = -2, f(x) = 5^(-2) = 1/(5 x 5) = 1/25.
Untuk x = -3, f(x) = 5^(-3) = 1/(5 x 5 x 5) = 1/125.

Contoh 4

Tentukan nilai dari fungsi eksponen f(x) = 7^x untuk x = 0.5 dan x = 0.75.

Jawab:
Untuk x = 0.5, f(x) = 7^(0.5) = √7 = 2.646.
Untuk x = 0.75, f(x) = 7^(0.75) = (√7)^(0.75) = 2.207.

Contoh 5

Tentukan nilai dari fungsi eksponen f(x) = 2^x untuk x = -1 dan x = -2.

Jawab:
Untuk x = -1, f(x) = 2^(-1) = 1/2.
Untuk x = -2, f(x) = 2^(-2) = 1/(2 x 2) = 1/4.

Nah detikers, itulah tadi penjelasan mengenai eksponen beserta sifat-sifatnya. Sekarang kamu sudah memahaminya kan? Semoga artikel ini bisa membantu, ya!