Himpunan: Pengertian, Anggota, Sifat dan Contoh Soalnya

Dalam ilmu matematika terdapat konsep yang dikenal dengan himpunan. Himpunan adalah konsep dasar dalam matematika yang terdiri dari kumpulan objek atau elemen dengan sifat atau karakteristik yang sama.

Pengenalan konsep himpunan dimulai sejak tingkat sekolah dasar untuk membantu dalam pengelompokan objek atau bilangan berdasarkan persamaan sifat tertentu.

Pengertian Himpunan

Mengutip dari buku "Teori Himpunan" oleh Darwanto dkk, himpunan adalah kumpulan objek atau benda yang didefinisikan secara jelas, di mana setiap anggotanya dapat dibedakan dari yang bukan bagian himpunan tersebut.

Dalam himpunan, setiap objek disebut sebagai anggota atau elemen. Anggota himpunan ditandai dengan "∈", sementara yang bukan anggota ditandai dengan "∉", sebagaimana dilansir dari laman CNN Indonesia.

Contohnya:

A = {harimau, anjing, kucing, kelinci}

Maka, himpunan A adalah himpunan hewan berkaki empat dengan n(A) = 4

Kelinci ∈ A (kelinci adalah anggota himpunan A, dan ayam ∉ A (ayam bukan anggota himpunan A).

Anggota Himpunan

Mengutip dari buku "Rumus Lengkap Matematika SMP" oleh Joko Untoro, anggota himpunan adalah semua unsur atau objek yang terdapat di dalam suatu himpunan.

1. Anggota himpunan dinyatakan dengan notasi e ∈

2. Bukan anggota himpunan dinyatakan dengan notasi ∉

Contoh:

A = {1, 3, 5, 7}

1 adalah anggota A, ditulis 1 ∈ A
3 adalah anggota A, ditulis 3 ∈ A
4 bukan anggota A, ditulis 4 ∉ A

Sifat-sifat Himpunan

Berikut adalah sifat-sifat himpunan yang dilansir dari laman CNN Indonesia.

1. Himpunan Berhingga

Himpunan ini adalah himpunan dengan jumlah anggota yang bisa dihitung (berhingga).

Contoh:

A adalah bilangan asli kurang dari 5. Maka, {1,2,3,4} dengan n(A) = 4

2. Himpunan tak berhingga

Himpunan tak berhingga adalah himpunan dengan jumlah anggota yang tidak bisa dihitung atau tak terhingga.

Contoh:

B = {1,2,3,4,5,.....}. Maka, n(B) = tidak terhingga.

3. Himpunan kosong

Ini adalah adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.

Contoh:

C = {x < 1, x ∈ bilangan asli}. Maka, C = {} = ∅

4. Himpunan semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang mencakup semua objek yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disimbolkan dengan S.

Contoh:

D = {1, 3, 5}. Maka himpunan semestanya yang mungkin adalah:

S = {bilangan asli}
S = {bilangan ganjil}
S = {bilangan cacah}

Operasi Himpunan

1. Komplemen (Ac)

Komplemen himpunan A adalah himpunan yang berisi semua elemen yang bukan bagian dari himpunan A, namun masih termasuk dalam himpunan semesta (S).

Ac = A1 = {x | x ∉ A dan x ∈ S }

2. Irisan (A ∩ B)

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang berisi elemen-elemen yang dimiliki oleh kedua himpunan A dan B.

A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B}

3. Gabungan (A U B)

Gabungan himpunan A dan B berisi elemen-elemen dari himpunan A, himpunan B, atau keduanya.

A U B = { x | x ∈ A atau x ∈ B}

4. Bagian (A ∉ B)

Himpunan A adalah bagian dari B jika semua elemen A juga adalah bagian dari himpunan B. Himpunan bagian dinotasikan dengan 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ B

5. Selisih himpunan

Selisih himpunan A terhadap B berisi elemen-elemen yang ada di himpunan A tetapi tidak ada di himpunan B.

A - B = {x | x ∈ A dan x ∉ B}

6. Himpunan ekuivalen

Dua himpunan dikatakan ekuivalen atau sama jika jumlah elemennya sama.

Contoh:

A = {2, 4, 6} : n(A) = 3

B = {1, 4, 7} : n(B) = 3

n(A) = n(B) = 3 maka A dan B adalah himpunan yang sama.

Contoh Soal Himpunan dan Penyelesaiannya

Berikut adalah contoh soal himpunan yang dikutip dari buku Himpunan Teori dan Contoh Soal oleh Amir Mahmud dan Rizki Wahyu Yunian Putra.

1. Diketahui himpunan-himpunan sebagai berikut.

K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

L = {2, 3, 4, 5, 6, ...}

M = {2, 4, 6, 8, 10...}

N ={1, 3, 5, 7, 9,...}

Berdasarkan himpunan di atas, manakah yang adalah himpunan bilangan ganjil?

Penyelesaian:

=> K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Himpunan K adalah himpunan bilangan asli.

=> L = {2, 3, 4, 5, 6, ...}

Himpunan L adalah himpunan bilangan bulat lebih dari 1.

=> M = {2, 4, 6, 8, 10...}

Himpunan M adalah himpunan bilangan genap.

=> N = {1, 3, 5, 7, 9,...}

Himpunan N adalah himpunan bilangan ganjil.

Maka, yang termasuk ke dalam himpunan bilangan ganjil adalah Himpunan N.

Video Trump Sebut Mahasiswa Tak Bisa Hitung 2+2 tapi Malah ke Harvard

Video Trump Sebut Mahasiswa Tak Bisa Hitung 2+2 tapi Malah ke Harvard