Pembahasan Trigonometri Dasar Kelas XI Lengkap Beserta Contoh Soalnya

Trigonometri dasar merupakan salah satu materi mata pelajaran matematika bagi siswa kelas XI SMA/MA/SMK. Untuk membantu para siswa memahami materi ini, kalian dapat menyimak pembahasan trigonometri dasar beserta contoh soalnya di bawah ini.

Dikutip dari Kamus Matematika: Matematika Dasar yang disusun Bana G Kartasasmita, trigonometri berasal dari gabungan dua kata Yunani yang berarti ukuran segitiga.

Trigonometri diterapkan dalam survei, navigasi, perhitungan bangun, dan berbagai bidang sains. Trigonometri sangat penting dalam kebanyakan cabang matematika dan fisika.

Pembahasan Trigonometri Dasar

Melansir dari buku 'Modul Pembelajaran SMA Matematika Peminatan: Persamaan Trigonometri', dapat kita ketahui bahwa persamaan trigonometri dasar meliputi:

sin 𝑥 = sin 𝛼

cos 𝑥 = cos𝛼

tan 𝑥 = tan 𝛼

sin 𝑥 = 𝑘, 𝑘 sebuah konstanta

cos 𝑥 = 𝑘, 𝑘 sebuah konstanta

tan 𝑥 = 𝑘, 𝑘 sebuah konstanta

Penyelesaian persamaan trigonometri dasar

Menyelesaikan persamaan trigonometri dalam bentuk kalimat terbuka yang memuat variabel berarti menentukan nilai variabel yang terdapat dalam persamaan tersebut sehingga persamaan itu menjadi benar. Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri

sin 𝑥 = sin 𝛼, cos 𝑥 = cos 𝛼 dan tan 𝑥 = tan 𝛼, perhatikan tanda (positif atau negatif) untuk sin 𝑥, cos 𝑥,tan 𝑥 pada tiap kuadran dan sudut berelasi pada kuadran masing-masing.

Menentukan penyelesaian persamaan trigonometri dasar

• sin 𝑥 = sin𝛼°

Nilai sinus suatu sudut positif di kuadran 1 dan 2 sehingga untuk persamaan sin 𝑥 = sin𝛼°

penyelesaiannya adalah: 𝑥 = { 𝛼° + 𝑘. 360° (𝐾𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 1) (180 − 𝛼)° + 𝑘. 360° (𝐾𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 2)

• cos 𝑥 = cos 𝛼°

Nilai cosinus suatu sudut positif di kuadran 1 dan 4 sehingga untuk persamaan cos 𝑥 = cos 𝛼°

penyelesaiannya adalah: 𝑥 = { 𝛼° + 𝑘. 360° (𝐾𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 1) (−𝛼)° + 𝑘. 360° (𝐾𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 4)

• tan 𝑥 = tan 𝛼°

Nilai tangen suatu sudut positif di kuadran 1 dan 3 sehingga untuk persamaan cos 𝑥 = cos 𝛼°

penyelesaiannya adalah: 𝑥 = 𝛼° + 𝑘. 180° (𝐾𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 1 𝑑𝑎𝑛 3)

Begitu pula untuk bentuk sudut dalam radian.

sin 𝑥 = sin𝛼 𝑥 = { 𝛼 + 𝑘. 2𝜋 (𝐾𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 1) (𝜋 − 𝛼) + 𝑘. 2𝜋 (𝐾𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 2)

cos 𝑥 = cos 𝛼 𝑥 = { 𝛼 + 𝑘. 2𝜋 (𝐾𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 1) (−𝛼) + 𝑘. 2𝜋 (𝐾𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 4)

tan 𝑥 = tan 𝛼 𝑥 = 𝛼 + 𝑘. 𝜋 (𝐾𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 1 𝑑𝑎𝑛 3)

Contoh Soal

Tentukan akar-akar dari persamaan trigonometri berikut kemudian tuliskan himpunan penyelesaiannya.

• sin 𝑥 = sin 70°, 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°

Jawab: sin 𝑥 = sin 70°, 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° 𝑥1

= 70° 𝑥2 = (180 − 70)°

= 110°

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {70°, 110°}

• cos 𝑥 = cos 60°, 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°

Jawab: cos 𝑥 = cos 60°, 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° 𝑥1

= 60° 𝑥2

= −60° + 360° = 300°

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {60°, 300°}

• tan 𝑥 = tan 20°, 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°

Jawab: tan 𝑥 = tan 20°, 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°

𝑥 = 20° + 𝑘. 180°

Untuk 𝑘 = 0 diperoleh 𝑥1 = 20°

Untuk 𝑘 = 1 diperoleh 𝑥2 = 20° + 180° = 200°

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {20°, 200°}

• sin 2𝑥 = sin 23 𝜋 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋

Jawab: sin 2𝑥 = sin 23 𝜋 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋

2𝑥 = 23 𝜋 + 𝑘. 2𝜋

𝑥 = 13 𝜋 + 𝑘. 𝜋

untuk 𝑘 = 0 diperoleh 𝑥1 = 13 𝜋

untuk 𝑘 = 1 diperoleh 𝑥2 = 13 𝜋 + 𝜋 = 43 𝜋

2𝑥 = (𝜋 − 23 𝜋) + 𝑘. 2 𝜋 𝑥 = 16 𝜋 + 𝑘. 𝜋

untuk 𝑘 = 0 diperoleh 𝑥3 = 16 𝜋

untuk 𝑘 = 1 diperoleh 𝑥4 = 76 𝜋

Dari pengerjaan di atas diperoleh himpunan penyelesaiannya yaitu { 16 𝜋, 13 𝜋, 76 𝜋, 43 𝜋}

• cos 3𝑥 = cos 12 𝜋 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋

Jawab: cos 3𝑥 = cos 12 𝜋 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋

3𝑥 = 12 𝜋 + 𝑘. 2𝜋

𝑥 = 16 𝜋 + 𝑘. 23 𝜋

untuk 𝑘 = 0 diperoleh 𝑥1 = 16 𝜋

untuk 𝑘 = 1 diperoleh 𝑥2 = 56 𝜋

3𝑥 = − 12 𝜋 + 𝑘. 2𝜋

𝑥 = − 16 𝜋 + 𝑘. 23 𝜋

untuk 𝑘 = 1 diperoleh 𝑥3 = 12 𝜋

Dari pengerjaan di atas diperoleh himpunan penyelesaiannya yaitu { 16 𝜋, 12 𝜋, 56 𝜋}

• tan 2𝑥 − tan 1 3 𝜋 = 0 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝜋

Jawab: tan 2𝑥 − tan 13 𝜋 = 0 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 tan

2𝑥 = tan 13 𝜋 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋

2𝑥 = 13 𝜋 + 𝑘. 𝜋

𝑥 = 16 𝜋 + 𝑘. 12 𝜋

untuk 𝑘 = 0 diperoleh 𝑥1 = 16 𝜋

untuk 𝑘 = 1 diperoleh 𝑥2 = 23 𝜋

Himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah { 16 𝜋, 23 𝜋}

Gimana nih detikers setelah menyimak pembahasan dan contoh soal terkait trigonometri dasar kelas XI? Semoga kalian dapat lebih memahami trigonometri dasar ya!