Rumus Determinan Matriks: Jenis, Sifat, Contoh Soal, dan Cara Menghitungnya

Rumus determinan adalah rumus yang digunakan untuk menentukan nilai yang bisa dihitung dari elemen, seperti suatu matriks.

Apa itu determinan dalam matriks? Simak penjelasannya beserta rumus determinan, contoh soal, dan pembahasannya berikut ini.

Pengertian Determinan Dalam Matriks

Dikutip dari emodul Matematika Kemdikbud yang disusun oleh Syah Astuti, determinan adalah nilai yang didapat dengan rumus determinan: ad-bc, untuk matriks berordo 2 x 2 atau aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi untuk matriks ordo 3 x 3.

Dalam hal ini, determinan dalam matriks adalah hasil selisih perkalian elemen-elemen pada diagonal utama suatu matriks persegi, dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder.

Matriks sendiri merupakan kumpulan bilangan, ekspres/simbol berbentuk persegi yang disusun berdasarkan baris dan kolom. Determinan dalam matriks bisa ditulis dengan notasi det(A) atau |A|.

Sifat-sifat Determinan Matriks

Dikutip modul Matematika umum Kemdikbud Kelas XI yang disusun oleh Yusdi Irfan, berikut merupakan sifat-sifat determinan matriks:

Contoh, jika matriks A dan B berordo m x n dengan m,n ∈ N 1.

Apabila det A = |𝐴| dan det B = |𝐵|, maka det A. det B = det AB

atau

|𝐴||𝐵|= |𝐴𝐵|

Apabila det A = |𝐴| dan det 𝐴 𝑡= |𝐴 𝑡 |, maka det A = det 𝐴 𝑡

atau

|𝐴|= |𝐴 𝑡 |

Apabila det A = |𝐴| dan det 𝐴 −1= |𝐴 −1 |, maka |𝐴 −1 | = −1 |𝐴|

Jenis Determinan Matriks

Determinan matriks terdiri dari beberapa jenis yaitu sebagai berikut.

Determinan Matriks Persegi Berordo 2

Determinan matriks ordo 2 x 2 merupakan hasil kali elemen-elemen diagonal utama, dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal samping. Ini disebut sebagai determinan matriks A.

Notasi determinan matriks A, rumus determinan matriks ordo 2 x 2 ditulis:

det(A) = ad - bc

Determinan Matriks Persegi Berordo 3

Matriks berordo 3 x 3 adalah matriks yang jumlah barisnya tiga, dengan jumlah kolomnya juga sebanyak tiga.

Berikut adalah matriks 3 x 3:

Apabila ditulis sesuai dengan identitas baris dan kolomnya, penulisan matriks A di atas ditulis dengan:

Sementara, untuk mencari determinannya maka matriks di atas perlu keluarkan dua kolom pertama yaitu kolom pertama dan kolom kedua. Bentuknya akan menjadi:

Rumus Determinan Matriks Persegi ordo 3 x 3:

Det A = |𝑨| = (aef + bfg + cdh) - ( ceg + afh + bdi)

Contoh Soal Determinan Matriks dan Pembahasan Jawabannya

Agar lebih paham cara menerapkan rumus determinan matriks, cobalah berlatih dengan soal-soal berikut ini.

Contoh 1

Dikutip dari ebook Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian oleh Dini Afriyanti, berikut merupakan contoh soal determinan matriks ordo 2 x 2.

Hitunglah determinan dari matriks A di atas!

Jawab:

Rumus determinan: det (A) = ad - bc

det (A) = 3.2-4.1

= 6 - 4

= 2

Jadi didapatkan, nilai determinan matriks A yaitu 2.

Contoh 2

Dari matriks A dan matriks B di atas, tentukanlah:

a. det A

b. det B

c. det A det B

d. det 𝐴 𝑡

Jawab:

Contoh 3

Dari matriks A di atas, tentukanlah determinan matriks A tersebut!

Jawab:

Contoh Soal 4

Perhatikan contoh soal determinan matriks berordo 3 di bawah ini.

Perusahaan penerbangan menawarkan perjalanan wisata ke negara X. perusahaan ini mempunyai tiga jenis pesawat, yaitu Airbus 100, Airbus 200, dan Airbus 300.

Setiap pesawat dilengkapi kursi penumpang untuk kelas turis, ekonomi, serta VIP. Berikut merupakan tabel dari jumlah kursi penumpang dari tiga jenis pesawat tersebut.

Pertanyaan: tentukan banyak pesawat masing-masing yang perlu dipersiapkan untuk perjalanan tersebut:

Jawab:

Untuk mempermudah, kita bisa tulis:

x = banyaknya pesawat Airbus100

y = banyaknya pesawat Airbus 200

z = banyaknya pesawat Airbus 300

Sementara, untuk sistem persamaan yang terbentuk yaitu:

50x + 75y + 40z = 305

30x + 45y + 25z = 185

32x + 50y + 30z = 206

Jika dituliskan dalam bentuk matriks, maka persamaan matriksnya berbentuk:

Menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 perlu aturan tertentu, sehingga tidak bisa dilakukan dengan cara seperti matriks berordo 2 x 2.

Salah satu cara menghitung determinan matriks ordo 3 x 3 menggunakan aturan/metode sarrus.

Setelah dua kolom pertama dikeluarkan, lalu langkah selanjutnya yaitu menarik garis diagonal yang menghubungkan tiap tiga elemen, seperti gambar.

Garis yang rebah dari kiri atas ke kanan bawah kita diberi tanda + (plus), dan garis diagonal yang rebah dari kanan atas ke kiri bawah diberi tanda - (minus).

Selanjutnya, determinan dihitung dengan mengalikan tiap-tiap garis yang segaris - yang berada di dalam satu garis diagonal - serta memberikan tanda, sesuai dengan tanda di bawah garis.

Berikut adalah penyelesaian soal permasalahan di atas dengan persamaan matriks:

Dari hasil perhitungan determinan di atas, maka diperoleh kesimpulan bahwa:

• Banyaknya pesawat Airbus 100 yang disediakan 3 unit
• Banyaknya pesawat Airbus 200 yang disediakan 1 unit
• Banyaknya pesawat Airbus 300 yang disediakan sebanyak 2 unit

Nah, itu tadi penjelasan mengenai rumus determinan lengkap dengan jenis determinan matriks, contoh soal, dan cara menghitungnya. Selamat belajar!