Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika: Rumus dan Contoh Soal

Barisan aritmatika adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan. Selisih atau beda antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Nilai suku pertama dilambangkan dengan a.

Sementara Kamus Matematika: Matematika Dasar menerangkan pengertian barisan aritmetika adalah barisan dengan setiap sukunya sama dengan jumlah sebelumnya ditambah suatu bilangan konstan.

Dalam barisan aritmatika, antar sukunya memiliki selisih yang sama sehingga terdapat pola yang teratur. Selisih antar suku dalam barisan aritmatika diketahui melalui penjumlahan atau pengurangan.

Selain barisan aritmatika ada juga deret aritmatika. Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari barisan aritmatika.

Barisan aritmatika merupakan salah satu materi yang terdapat dalam cabang ilmu matematika. Pembelajaran terkait materi ini biasa dapat kalian jumpai pada saat duduk di bangku SMA/MA/SMK.

Mempelajari materi barisan dan deret aritmatika dapat menjadi tantangan tersendiri bagi para siswa. Hal ini disebabkan karena barisan dan deret aritmatika tidak dapat dipisahkan karena memiliki hubungan satu sama lain.

Dalam barisan dan deret aritmatika, kalian akan mempelajari terkait pola perhitungan angka yang didalamnya bisa terdapat operasi penambahan, pengurangan, perkalian ataupun pembagian.

Nah, detikers yuk simak ulasan selanjutnya terkait barisan dan deret aritmatika!

Rumus Barisan Aritmatika

b = U2 - U1
b = U3 - U2 → b = Un - Un-1
b = U4 - U3 dst

Jika suku pertama = a dan beda = b, maka secara umum barisan aritmetika tersebut adalah

Jadi rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah:

Un = a + (n - 1)b

Dengan:

Un = Suku ke-n

a = Suku pertama

b = beda atau selisih

Contoh Soal Barisan Aritmatika

1. Diketahui barisan Aritmetika : 2, 6, 10, .... Tentukan suku ke-14

Jawab:

Diketahui:

a = 2

b = 6 - 2 = 4

Ditanyakan:

U14=?

Penyelesaian:

Un = a + (n - 1)b

U14 = 2 + (14 - 1).4

= 2 + 13 . 4

= 2 + 52

= 54

2. Pada suatu barisan Aritmetika diketahui U8 = 24 dan U10 = 30.

Tentukan:

- Beda dan suku pertamanya

- Suku ke-12

- 6 suku yang pertama

Jawab:

Diketahui:

U10 = a + 9b = 30

U8 = a + 7b = 24

Penyelesaian:

(eliminasi U10 dengan U8)

2b = 6

b = 3

U8 = a + 7b = 24

a + 7(3) = 24

a + 21 = 24

a = 3

- Jadi didapat beda = 3 dan suku pertama = 3

Un = a + (n - 1)b

U12 = 3 + (12 - 1)3

U12 = 3 + 11 . 3

- U12 = 36

- Enam suku yang pertama adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18

3. Pada tahun pertama sebuah butik memproduksi 400 stel jas Setiap tahun rata-rata produksinya bertambah 25 stel jas Berapakah banyaknya stel jas yang diproduksi pada tahun ke-5 ?

Jawab:

Diketahui:

Banyaknya produksi tahun I, II, III, dan seterusnya membentuk barisan aritmetika yaitu 400, 425, 450, ....

a = 400 dan b = 25

Ditanyakan: U5=?

Penyelesaian:

U5 = a + (5 - 1)b

= 400 + 4 . 25

= 400 + 100

= 500

Jadi banyaknya produksi pada tahun ke-5 adalah 500 stel jas

Rumus Deret Aritmatika

Seperti diterangkan di atas deret aritmetika adalah jumlah dari seluruh suku-suku pada barisan aritmetika. Jika barisan aritmetikanya adalah U1, U2, U3, ...., Un maka deret aritmetikanya U1+U2+ U3+ ....+ Un dan dilambangkan dengan Sn.

Sn= 1/2 n (a+Un) atau Sn= 1/2 n (2a+ (n-1)b)

Keterangan : Sn = Jumlah n suku pertama deret aritmetika
Un = Suku ke-n deret aritmetika
a = suku pertama
b = beda
n = banyaknya suku

Untuk menentukan suku ke-n selain menggunakan rumus Un = a + (n - 1)b dapat juga digunakan rumus yang lain yaitu:

Un = Sn - Sn-1

Contoh Soal Deret Aritmetika

1. Tentukan jumlah 20 suku pertama deret 3+7+11+...

Jawab:

Mencari beda dengan mengurangi suku setelah dengan duku sebelumnya dan dapat dituliskan sebagai berikut

𝑏 = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1

𝑏 = 𝑈2 − 𝑈1

𝑏 = 7 − 3

𝑏 = 4

Selanjutnya substitusi 𝑏 = 4 untuk mencari 𝑆20

Sn = ½ n (2a + (n - 1)b )

Sn = ½ . 20 (2 . 3 + (20 - 1)4 )

Sn = 10 (6 + 19 . 4 ) Sn = 10 (6 + 76)

Sn = 10 (82)

Sn = 820

Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 820

2. Suatu deret aritmetika dengan S12 = 150 dan S11 = 100, tentukan U12 !

Jawab:

Karena yang diketahui 𝑆12 dan 𝑆11 maka untuk mencari 𝑈𝑛 kita bisa gunakan rumus berikut :

𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1

Un = Sn - Sn-1

U12 = S12 - S11

= 150 - 100

= 50

Jadi, nilai dari 𝑈12 adalah 50

3. Suatu barisan aritmatika dirumuskan Un = 6n - 2 tentukan rumus Sn !

Jawab:

Diketahui

𝑈𝑛 = 6𝑛 − 2, untuk mencari 𝑈1, 𝑈2,𝑈3, ...

Kita dapat mensubstitusi nilai 𝑛 = 1, 2, 3,

Sebagai berikut:

U1 = 6(1) - 2

= 4

U2 = 6(2) - 2

= 10

U2 - U1 = 10 - 4

= 6

Substitusi nilai 𝑎 = 4 dan 𝑏 = 6 untuk mencari rumus 𝑆𝑛

Sn = ½ n [2a + (n - 1)b ]

Sn = ½ n [2 . 4 + (n - 1)6 ]

Sn = ½ n [ 8 + 6n - 6]

Sn = ½ n [ 6n + 2 ]

Sn = 3𝑛^2 + n

Jadi, rumus 𝑆𝑛 adalah 𝑆𝑛 = 3𝑛^2+ 𝑛

Nah, detikers gimana nih apakah sekarang kalian sudah lebih memahami terkait barisan aritmatika dan deret aritmatika?

Video Trump Sebut Mahasiswa Tak Bisa Hitung 2+2 tapi Malah ke Harvard

Video Trump Sebut Mahasiswa Tak Bisa Hitung 2+2 tapi Malah ke Harvard