Apa itu Program Linear? Fungsi, Model Matematika dan Contoh Soal

Perkalian matematika — Foto: Joshua Hoehne/Unsplash

Salah satu cara atau metode yang diajarkan dalam mata pelajaran Matematika adalah program linear. Biasanya metode ini digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan optimasi linear (nilai maksimum dan nilai minimum). Selain itu, mengetahui cara menyelesaikan soal linear juga bermanfaat pada kehidupan sehari-hari, misalnya memaksimalkan keuntungan suatu perusahaan.

Nah, bagaimana sih cara menyelesaikan soal linear? Jangan bingung, karena detikBali akan membahas mengenai program linear mulai dari pengertian, cara pengerjaan, hingga contoh soalnya. Jadi langsung saja simak artikel di bawah ini.

Apa itu Program Linear?

Sebelum itu, detikers harus tahu dulu apa sih yang dimaksud program linear. Dikutip dari Jurnal Karya Unisba oleh Fhani Mulyani, program linear adalah cara yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi suatu model linear dengan berbagai kendala yang dihadapinya. Setelah ditemukannya metode penyelesaian program linear oleh George Dantzig pada tahun 1947 silam yang bernama metode simpleks, masalah program linear semakin berkembang pesat.

SCROLL TO CONTINUE WITH CONTENT

Program linear memiliki banyak manfaat bagi kehidupan sehari hari di antaranya adalah untuk menyelesaikan masalah optimasi dalam industri, perbankan, pendidikan dan masalah-masalah lain yang dapat dinyatakan dalam bentuk linear. Selain itu, program linear bertujuan utama untuk menentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) dari fungsi tujuan yang telah ditetapkan.

Fungsi Program Linear

Umumnya, fungsi program linear terdiri dari dua macam, yaitu fungsi tujuan atau objektif dan fungsi pembatas atau kendala. Mengutip dari Buku Karya Johannnes Supranto, berikut adalah fungsi program linear.

1. Fungsi Tujuan atau Objektif

Fungsi tujuan atau objektif adalah fungsi yang hendak dicari nilai optimumnya (maksimum dan minimum) dalam bentuk sebuah persamaan. Bentuk umum dari fungsi tujuan atau objektif adalah sebagai berikut.
maksimum atau minimum f(x,y) = px + qy, dengan p dan q adalah konstanta.

2. Fungsi Pembatas atau Kendala

Sementara fungsi pembatas atau kendala adalah fungsi yang harus terpenuhi dalam optimisasi fungsi tujuan. Fungsi pembatas atau kendala dapat berbentuk persamaan maupun pertidaksamaan. Bentuk umum dari fungsi pembatas atau kendala adalah sebagai berikut.
x ≥ 0 ; y ≥ o atau x ≥ 0 ; y ≥ o

Model Matematika Program Linear

Untuk menggunakan metode optimasi linear dalam kehidupan sehari-hari, fungsi tujuan dan batasan biasanya harus diterjemahkan ke dalam sistem pertidaksamaan linear. Caranya sendiri dapat menggunakan model Matematika.

Mengutip Buku Sumber Belajar Penunjang PLPG 2017 oleh Dr. Djadir, model matematika adalah bentuk penalaran manusia dalam menerjemahkan permasalahan menjadi bentuk matematika (dimisalkan dalam variabel x dan y) sehingga dapat diselesaikan.

Nah, model Matematika terdiri atas dua bagian, yaitu fungsi objektif, f(x, y) = px + qy. Lalu syarat atau batasan yang berisikan kendala-kendala yang harus dipenuhi oleh variabel x dan y.

Grafik Program Linear

Dalam program linear juga terdapat metode grafik yang dibatasi untuk model program linear dengan dua variabel dan dapat digambarkan dalam grafik 2 dimensi. Berikut adalah contoh grafik program linear yang dikutip dari Imsspada Kemendikbud, Karya Asep Rusyana.

Contoh permasalahan

Misalkan terdapat Model Program Linear sebagai berikut:
Memaksimumkan Z = 4x1 + 5x2
Batasan
x1 + 2x2 < 40
4x1 + 3x2 < 120
x1 > 0 dan x2 > 0

Contoh Grafik Permasalahan

Grafik program linear. Foto: Kemdikbud/Asep Rusyana

Contoh Soal Program Linear

Beberapa contoh soal program linear di bawah dapat kamu jadikan latihan. Berikut soal sekaligus pembahasan penyelesaian yang diambil dari Buku Soal Cerita Program Linear dan Pembahasan oleh Bhilal Aji.

Contoh Soal 1

Aini, Nia, dan Nisa pergi bersama-sama ke toko buah. Aini membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Nisa membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp. 80.000,00. Tentukan harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk.

Jawaban Penyelesaian:

Misalkan:
apel = x
anggur = y
jeruk = z

Dari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut :
2x + 2y + z = 67.000
3x + y + z = 61.000
x + 3y + 2z = 80.000
Diketahui : x + y + 4z = ....?

Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umumnya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang.

Dari persamaan No 1 dan 2 diperoleh persamaan 4:
2x + 2y + z = 67.000
3x + y + z = 61.000 -
-x + y = 6.000

Dari persamaan No 2 dan 3 diperoleh persamaan 5:

3x + y + z = 61.000 | x2
x + 3y + 2z = 80.000 | x1 -

menjadi

6x + 2y + 2z = 122.000
x + 3y + 2z = 80.000 -
5x - y = 42.000

Dari persamaan No 4 dan 5 diperoleh:

5x - y = 42.000
-x + y = 6.000 +
4x = 48.000
x = 12.000

sehingga

-12.000 + y = 6.000
y = 18.000

menjadi

2x + 2y + z = 67.000
2(12.000) + 2 (18.000) + z = 67.000
z = 67.000 - 24.000 - 36.000
z = 7.000

Jadi harga untuk 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk adalah x + y + 4z = 12.000 + 18.000 + 4(7000) = Rp 58.000,00.

Contoh Soal 2

Untuk membuat barang A diperlukan 6 jam kerja mesin I dan 4 jam kerja mesin II, sedangkan untuk barang B diperlukan 4 jam kerja mesin I dan 8 jam kerja mesin II. Setiap hari kedua mesin tersebut bekerja tidak lebih dari 18 jam. Jika setiap hari dapat dihasilkan x barang A dan y barang B, maka model matematikanya adalah sistem pertidaksamaan?