Memahami Fungsi Kuadrat dan Penjelasan Contoh Soalnya

Saat kita melempar suatu benda ke atas, maka kita bisa tahu di mana titik tertingginya. Caranya dengan dihitung menggunakan konsep fungsi kuadrat.

Fungsi kuadrat adalah salah satu materi penting dalam matematika, khususnya dalam aljabar. Pemahaman yang baik tentang fungsi kuadrat sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai permasalahan matematika, baik dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam ujian.

Apa Itu Fungsi Kuadrat?

Dirangkum dari buku Aljabar dan Trigonometri oleh Yosep Dwi Kristanto dan Eko Budi Santoso, fungsi kuadrat adalah fungsi suku yang berderajat atau berpangkat dua (kuadrat). Fungsi kuadrat adalah relasi kuadrat yang digunakan untuk menghubungkan antara daerah asal dan daerah hasil.

Bentuk umum fungsi kuadrat ditulis sebagai:

f(x) = ax² + bx + c.

Keterangan dan syarat:

• Nilai a adalah koefisien dari x²
• Nilai b adalah koefisien dari x
• Nilai c adalah konstanta
• Nilai x adalah variabel bebas
• Nilai a ≠ 0

Contoh fungsi kuadrat paling sederhana adalah y = x², di mana derajat tertinggi dari variabelnya adalah 2.

Grafik Fungsi Kuadrat

Dari rumus tersebut, kamu bisa membuat tabel nilai untuk menggambar grafik fungsi kuadrat. Grafik fungsi kuadrat digunakan untuk memberikan gambaran visual dari fungsi kuadrat.

Karakteristik dari grafik fungsi kuadrat yakni berbentuk parabola. Parabola ini bisa landai atau curam, tergantung nilai koefisien a.

Bentuk dasarnya menyerupai huruf "U" yang dapat membuka ke atas atau ke bawah. Titik baliknya berupa titik minimum atau maksimum.

Selain itu, terdapat sumbu simetri yang membagi parabola secara vertikal menjadi dua bagian yang sama. Fungsi kuadrat juga mempunyai diskriminan yang dirumuskan dengan D = b² - 4ac.

Ditulis dalam bentuk f(x) = y, di mana x adalah variabel bebas, dan a, b adalah koefisien variabel berpangkat dua. Berikut ini beberapa sifat dan cara menggambarkan grafik fungsi kuadrat:

1. Grafik Terbuka

Jika a > 0, parabola terbuka ke atas. Jika a < 0, parabola terbuka ke bawah.

2. Titik Puncak

Titik puncak (vertex) merupakan titik tertinggi atau terendah dari grafik. Jika parabola menghadap ke bawah, titik puncaknya adalah maksimum. Jika menghadap ke atas, titik puncaknya adalah minimum. Titik puncak dihitung dengan rumus:

(xp, yp) = (−b/2a, −D/4a)

3. Sumbu Simetri

Sumbu simetri membagi parabola menjadi dua bagian yang sama. Dihitung dengan rumus:

x = −b/2a

4. Titik Potong Sumbu Y

Titik ini adalah tempat grafik memotong sumbu Y. Dapat dilihat langsung dari nilai c pada fungsi f(x) = ax² + bx + c.

5. Titik Potong Sumbu X

Merupakan titik di mana grafik memotong sumbu X. Diperoleh dengan mencari akar-akar dari fungsi kuadrat tersebut.

Cara Menyusun Grafik Fungsi Kuadrat

Dikarenakan berupa fungsi, maka fungsi kuadrat dapat digambarkan grafiknya. Bentuk grafik kuadrat ini menyerupai parabola. Nilai a pada fungsi y = ax² + bx + c akan memengaruhi bentuk grafik.

Jika nilai a positif, grafiknya akan terbuka ke atas. Sebaliknya, jika nilai a negatif, grafiknya akan terbuka ke bawah. Kemudian, jika nilai a semakin besar maka grafiknya menjadi lebih 'kurus'.

Dikutip dari Buku Guru Matematika yang diterbitkan Kemdikbud, guna menyusun grafik fungsi kuadrat kamu bisa mengikuti langkah-langkah berikut:

• Menentukan bentuk parabola (terbuka ke atas atau ke bawah)
• Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu-y; yaitu, koordinat titik potongnya adalah (0,y1) dengan y1 didapatkan berdasarkan persamaan y1 = f(0)
• Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu-x; yaitu, koordinat titik potongnya adalah (x1,0) yang memenuhi persamaan f(x1 ) = 0
• Menentukan sumbu simetri dan nilai optimum dari grafik fungsi.

Contoh Soal dan Pembahasannya

Berikut beberapa contoh soal dan pembahasan fungsi kuadrat. Perlu dipahami, bahwa dalam prakteknya kamu mungkin butuh banyak berlatih soal agar kamu terbiasa mengerjakannya:

1. f(x) = 4x² + 3x + 8. Hitunglah nilai a + 2b + 3c!

Jawaban:

Diketahui nilai a = 4, b = 3, c = 8
= a + 2b + 3c
= 4 + 2(3) + 3(8)
= 4 + 6 + 24
= 34

2. f(x) = 3x² - 2x + 5 memiliki bentuk sesuai dengan bentuk f(x) = ax² + bx + c. Hitunglah nilai 2a + 3b + 4c!

Jawaban:

= Diketahui nilai a = 3, b = -2, c = 5
= 2a + 3b + 4c
= 2(3) + 3(-2) + (4 x 5)
= 6 - 6 + 20
= 20

3. Diketahui fungsi f(x) = x² + 4x + 5. Hitunglah untuk nilai x = 3

Jawaban:

= f(x) = x² + 4x + 5
= f(3) = 3² + 4(3) + 5
= f(3) = 9 + 12 + 5
= f(3) = 26

4. Diketahui fungsi f(x) = x² - 4x + 3. Tentukan titik puncak grafik fungsi tersebut!

Jawaban:

Gunakan rumus x = -b/2a:

a = 1, b = -4

x = -(-4)/(2 × 1) = 4/2 = 2

f(2) = (2)² - 4×2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1

Jadi, titik puncaknya adalah (2, -1)

5. Sebuah parabola memiliki titik puncak di (1, -4) dan melalui titik (2, -1). Tentukan fungsi kuadratnya!

Jawaban:

Gunakan bentuk vertex:

f(x) = a(x - h)² + k

Dengan (h, k) = (1, -4), maka:

f(x) = a(x - 1)² - 4

Gunakan titik (2, -1) untuk mencari a:

-1 = a(2 - 1)² - 4

-1 = a(1) - 4

a = 3

Jadi, f(x) = 3(x - 1)² - 4

6. Tentukan akar-akar dari fungsi f(x) = x² - 5x + 6

Jawaban:

Gunakan rumus kuadrat:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

a = 1, b = -5, c = 6

Diskriminan = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1

x = [5 ± √1] / 2

x = (5 ± 1) / 2

x₁ = 6/2 = 3

x₂ = 4/2 = 2

Jadi, akar-akarnya adalah x = 2 dan x = 3

7. Diketahui fungsi kuadrat y = 3x2 + 6x + 5. Tentukan titik puncaknya!

Jawaban:

Tentukan sumbu simetri terlebih dahulu

= x = -(b/2a)

= x = -(6/2x3)

= x = -(6/6) = -1

Jadi, sumbu simetrinya adalah x = -1

Tentukan titik puncak

= y0 = -(b²- 4ac/4a)

= y0 = -(6²- 4x3x5/4x3)

= y0 = -(36-60/12)

= y0 = -(-24/12)

= y0 = 2

Jadi, titik puncaknya adalah (-1, 2)

8. Suatu fungsi kuadrat f(x) = ax² - 4x + c mempunyai titik puncak di (1, 4). Tentukan nilai f(x)!

Jawaban:

Pertama, substitusikan koordinat x pada titik puncak ke dalam rumus sumbu simetri untuk mendapatkan nilai a

= 1 = -(b/2a)

= 1 = -(-4/2a)

= 1 = 2/a

= a = 2

Kemudian, substitusikan nilai a dan koordinat puncak (1, 4) ke fungsi kuadrat f(x) = ax² - 6x + c untuk mendapatkan nilai c

= 1 = (2x1²) - (6x1) + c

= 1 = 2 - 6 + c

= 1 = -5 + c

= 1 + 5 = c

= 6 = c

Terakhir, untuk menemukan nilai f(x), substitusikan nilai a dan c ke dalam f(x) = ax² - 6x + c

= f(x) = ax² - 6x + c

= f(x) = 2(x²) - 6(x) + 3

= f(x) = 2x² - 6x + 3

Jadi, nilai f(x) = 2x² - 6x + 3

Nah, itulah tadi penjelasan tentang fungsi kuadrat dan contoh soalnya. Semoga dapat dipahami, ya!

Video Trump Sebut Mahasiswa Tak Bisa Hitung 2+2 tapi Malah ke Harvard

Video Trump Sebut Mahasiswa Tak Bisa Hitung 2+2 tapi Malah ke Harvard