.webp)
Deret aritmatika adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang ditemui di sekolah menengah hingga perguruan tinggi. Memahami konsep deret aritmatika tak hanya penting dalam matematika, tapi juga berguna dalam ilmu matematika dalam jenjang pendidikan, tapi juga dalam kehidupan sehari-hari.
Untuk membantu memahami materi ini, dalam artikel ini terdapat beberapa contoh soal deret aritmatika beserta cara pembahasannya. Simak informasinya berikut ini.
Apa Itu Deret Aritmatika
Menurut Modul Matematika Kelas XI karya Istiqomah, deret aritmatika adalah jumlah dari seluruh suku-suku yang ada di barisan aritmatika. Sehingga, jika diketahui barisan aritmatika adalah U1, U2, U3,..., Un, maka dere aritmatikanya yaitu U1+U2+U3+Un.
SCROLL TO CONTINUE WITH CONTENT
Deret aritmatika bisa pula diartikan sebagai barisan yang nilai seluruh sukunya diperoleh dari penjumlahan atau pengurangan suku sebelumnya dengan suatu bilangan. Lambang deret aritmatka adalah Sn.
Contoh Soal Deret Aritmatika
Untuk lebih memahami deret aritmatika, kamu bisa melihat beberapa contoh soal. Mengutip buku Matematika SMK 2: Kelompok Bisnis dan Manajemen oleh Syamsuddin, Bank Soal Matematika SMA oleh Drs Sobirin, laman Sampoerna Academy dan lainnya, berikut contoh soal tentang deret aritmatika.
1. Jumlah n suku pertama dari deret aritmatika adalah Sn=n2-n. Suku ke 10 deret tersebut adalah
Jawab:
Sn=n2-n
Un=Sn-Sn-1
U10=S10-S9
=(10(kuadrat)-10)-(9(kuadrat)-9)
= 90-72=18
Jadi, suku ke 10 deret tersebut sama dengan 18
2. Jika jumlah suku pertama deret aritmatika adalah Sn=2n(kuadrat)+3n, beda deretnya adalah
Jawab:
Sn=2n (kuadrat)+3n
beda (b)= U2-U1
= (S2-S1)-S1
=S2-2.S1
={2(2)(kuadrat)+3(2)}-2{2(1)(kuadrat)+3(1)}
= 14-10
= 4
Jadi, beda deretnya adalah 4
3. Tentukan jumlah 20 suku pertama deret 3 + 7 + 11 + ...
Jawab:
b= Un - Un-1
b= U2 - U1
b= 7 - 3
b= 4
Selanjutnya masukkan b = 4 untuk mencari S20 dengan rumus deret aritmatika, maka
Sn= 1/2n (2a + (n-1) b)
Sn= 1/2 . 20 (2.3 + (20 -1)4)
Sn= 10 (6+19.4)
Sn= 10 (6 + 76)
Sn= 10 (82)
Sn= 820
Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 820
4. Diketahui deret aritmatika S12 = 150 dan S11= 100, berapa U12?
Jawab:
Diketahui S12 dan S11, untuk mencari Un kamu bisa menggunakan rumus Un = Sn - Sn-1:
Un = Sn-Sn-1
U12= S12-S11
U12= 150-100
U12= 50
Jadi, nilai dari U12 adalah 50
5. Tentukan rumus Sn jika diketahui barisan aritmatika dengan rumus Un = 6n-2
Jawab:
Un = 6n-2, kita perlu mencari barisan bilangan U1,U2,U3, dengan mensubstitusi nilai n= 1,2,3 sebagai berikut:
-Cara mencari a
U1 = 6(1) - 2 = 4
U2 = 6(2) - 2 = 10
-Cara mencari b
b = U2 - U1
b = 10 - 4
b = 6
Maka substitusi nilai a = 4 dan b = 6, untuk mencari rumus Sn, caranya sebagai berikut
Sn= 1/2n (2a + (n-1)b)
Sn= 1/2n (2.4 + (n-1)6)
Sn= 1/2n (8 + 6n - 6)
Sn= 1/2n (6n + 2)
Sn= 3n2 + n
Jadi rumus Sn yaitu Sn = 3n2 + n.
6. Diketahui deret aritmatika:
3 + 8 + 13 + 18 + ...
Hitunglah jumlah suku ke-8!
Jawab:
a = 3
b = 8 - 3 = 5
n = 8
Maka:
Sn = ½ n (2a + (n-1)b)
S8 = ½ (8) (2 x 3 + (8 - 1)5)
S8 = 4 (6 + (7) 5)
S8 = 4 (6 + 35)
S8 = 4 x 41
S8 = 164
Jadi jumlah suku ke-8 dari deret aritmatika tersebut adalah 164.
7. Dalam suatu deret aritmatike, suku ke-1 = 10 dan bedanya = -12. Jumlah 15 suku pertama dari deret tersebut adalah...
Jawab:
a = 10
b = -12
n = 15
Maka:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S15 = 15/2 (2 x 10 + (15 - 1) -12)
S15 = 15/2 (20 + (14 x -12)
S15 = 15/2 (20 -168)
S15 = 15/2 (-148)
S15 = 12 x (-74)
S15 = -1.110
Jadi jumlah 15 suku pertama dari deret tersebut adalah -1.110.
8. Dalam suatu deret aritmatika, suku ke-1 = 6 dan suku ke-5 = 38. Maka suku ke-10 adalah...
Jawab:
U1 = n = 6
Un = a + (n - 1)b
U5 = a + (5 -1)b = 38
6 + 4b = 38
4b = 38 - 6
4b = 32
b = 8
Maka:
U10 = U1 + 9B
U10 = 6 + (9 x 8)
U10 = 6 + 72
U10 = 78
9. Hitunglah jumlah bilangan asli antara 1 dan 13 yang tidak habis dibagi 3
Jawab:
C=A-B
A= Jumlah bilangan asli antara 1 dan 13
B=Jumlah bilangan asli antara 1 dan 13 yang habis dibagi 3
A=2+3+4+...+12
a=2, b=1, Un=12
Cari n
Un=a+(n-1)b
12=2+(n-1) 1
12=2+ n-1
n=11
A= Sn=(2+12)=77
B=3+6+...+12
a=3, b=3, Un=12
Cari n
Un=a+(n-1)b
12=3+(n-1)3
12=3n
n=4
B=Sn=4/2 (3+12)= 30
C=77-3-=47
Jadi, jumlah bilangan asli antara 1 dab 12 yang tidak habis dibagi 3 ada 47.
10. Tentukan rumus Sn jika diketahui barisan aritmatika dengan rumus Un = 6n-2
Jawab:
Diketahui Un = 6n-2, kita perlu mencari barisan bilangan U1,U2,U3, dengan mensubstitusi nilai n= 1,2,3 sebagai berikut:
-Cara Mencari a
U1 = 6(1) - 2 = 4
U2 = 6(2) - 2 = 10
-Cara Mencari b
b = U2 - U1
b = 10 - 4
b = 6
Maka substitusi nilai a = 4 dan b = 6, mencari rumus Sn sebagai berikut
Sn= 1/2n (2a + (n-1)b)
Sn= 1/2n (2.4 + (n-1)6)
Sn= 1/2n (8 + 6n - 6)
Sn= 1/2n (6n + 2)
Sn= 3n2 + n
Jadi rumus Sn yaitu Sn = 3n2 + n.
11. Dari suatu deret aritmatika, diketahui U3=13 dan U7=29. Jumlah 25 suku pertama deret tersebut adalah..
Jawab
Un=a+(n-1) b
U3=13 a+2b=13....(1)
U7=29 a+6b=29....(2)
4b=-16
b=4
substitusikan b- 4 ke persamaan (1)
a+8=13
a=5
Sn=n/2 {2a+(n-1)b}
S25=25/2 {2(5)+24(4)}=1.325
Jadi, 25 suku pertama deret tersebut adalah 1.325.
12. Diketahui deret aritmatika a1+a2+a3+... Jika jumlah 5 suku pertama sama dengan 5 dan 6 log(3a1+a5)=2, jumlah 13 suku pertamanya sama dengan...
Jawab:
Sn=n/2 (2a+(n-1).b)
5=5/2(2a+4b)
1= a+2b........(1)
6 log(3a1+a5)=2
3a+(a+4b)=6 (kuadrat)
4a+4b=36 dibagi 4
a+b= 9.........(2)
Jika persamaan (1)-(2) diperoleh
b=-8
a=17
S13=13/2 (2a+12.b)=13(a+6b)=-403
Jadi, 13 suku pertamanya sama dengan -403
13. Sebuah deret aritmatika dengan 12 suku jika dijumlahkan memiliki hasil akhir hingga 306, berapa beda yang ada pada deret aritmatika tersebut jika diketahui suku pertamanya adalah 9?
Jawab:
Sn = ½n (2a + (n - 1) b)
306 = ½ 12 ((2 x 9) + (12 - 1) b)
306 = 6 (18 + 11b)
306 = 108 + 66b
306 - 108 = 66b
198 = 66b
198 ÷ 66 = b
b=3
14. Dalam suatu deret aritmatika suku ke-1 = 10 dan bedanya = -12. Jumlah 15 suku pertama dari deret tersebut adalah...
Jawab:
a = 10
b = -12
n = 15
Maka:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S15 = 15/2 (2 x 10 + (15 - 1) -12)
S15 = 15/2 (20 + (14 x -12)
S15 = 15/2 (20 -168)
S15 = 15/2 (-148)
S15 = 12 x (-74)
S15 = -1.110
Jadi jumlah 15 suku pertama dari deret tersebut adalah -1.110.
15. Diketahui suatu deret: 1+3+5+7+.... . Berapa jumlah dua suku yang pertama?
S2 = 1+3 = 4
Jadi, jumlah dua suku yang pertama adalah 4.
Itulah sejumlah contoh soal deret aritmatika beserta pembahasannya. Semoga artikel ini membantumu ya.
(elk/row)
