Bilangan Kompleks: Bentuk Operasi dan Contoh Soalnya

Bilangan kompleks adalah suatu konsep yang memungkinkan kita untuk menggabungkan bilangan real dengan bilangan imajiner. Seperti apa contohnya?

Sebagai konsep matematika, bilangan kompleks kerap membingungkan bagi banyak orang. Namun, bilangan ini memiliki peran yang sangat penting, contohnya konsep ini pernah digunakan untuk menakar posisi sumber tsunami.

Pengertian Bilangan Kompleks

Melansir laman LMS-SPADA Kemdikbud, bilangan kompleks adalah jenis bilangan yang terdiri dari dua bilangan, yakni bilangan real dan bilangan imajiner.

Semua besaran dapat ditulis dalam bentuk 𝑥 + i𝑦 dari bilangan real 𝑥 dan 𝑦 dengan I = atau ditulis sebagai pasangan berurutan 𝑧=(𝑥,𝑦).

Bilangan kompleks seperti, 𝑧 = 𝑥 + i𝑦 jika dirinci adalah sebagai berikut:

· 𝑥 disebut bilangan real dari 𝑧 yang ditulis Re(𝑧)

· 𝑦 disebut bagian imajiner dari 𝑧 yang ditulis Im(𝑧)

Sehingga, 𝑥 = Re(𝑧) dan 𝑦 = Im(𝑧) yang merupakan bilangan real

Jika bilangan kompleksnya adalah 𝑧 = 𝑥 + i𝑦, maka

· Re(𝑧) ≠ 0, Im(𝑧) = 0, jadi 𝑧 = 𝑥 adalah bilangan real. Dengan begitu, semua bilangan real 𝑥 dapat dipandang sebagai bilangan kompleks dengan bentuk 𝑧 + 𝑥 + 0i.

· Re(𝑧) = 0, Im(𝑧) ≠ 0, jadi 𝑧 = i𝑦 adalah bilangan imajiner.

· Re(𝑧) = 0, Im(𝑧) = 1, jadi 𝑧 = I disebut satuan imajiner.

· Bilangan real nol dan bagian imajiner nol maka dikatakan bilangan kompleks nol atau 𝑧 = 0 sehingga 𝑧 = 0 = 0 + 0i.

Selain itu;

· Bilangan Kompleks dapat ditulis sebagai pasangan berurutan, jika 𝑧 = (𝑥,𝑦), maka pada umumnya (𝑥,𝑦) ≠ (𝑦, 𝑥).

· Dua bilangan kompleks sama bila dan han𝑦a bila bilangan real sama dengan bilangan imajiner sama, maka

𝑥1 + i𝑦1 = 𝑥2 + i𝑦2 bhb 𝑥1 = 𝑥2 dan 𝑦1 = 𝑦2

· Oleh karena itu, 𝑧n = (𝑥n, 𝑦n), = 1, 2, 3 misaln𝑦a dipandang sebagai bilangan kompleks 𝑦ang berlainan. Namun demikian dua bilangan kompleks tidak dapat dibandingkan, satu lebih besar dari 𝑦ang lain seperti 𝑧1 > 𝑧2 atau sebalikn𝑦a.

Pengoperasian Aljabar Bilangan Kompleks

1. Operasi Uner (Unar𝑦 Operation)

a. Negatif

Lawan penjumlahan dari bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + i𝑦

Maka didefinisikan menjadi -𝑧 = - (𝑥 + 𝑦) = -𝑥 - i𝑦

b. Kawan

Conjugate dari bilangan kompleks 𝑧 + 𝑥 + i𝑦

Maka didefinisikan menjadi ż = 𝑥 - i𝑦, sehingga 𝑧 = 𝑥 + i𝑦 dan 𝑧 = 𝑥 - i𝑦

c. Kebalikan

Lawan perkalian dari bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + i𝑦

Maka didefinisikan menjadi ½ = 𝑧-1 = (𝑥 / 𝑥2 + 𝑦2) - i . (𝑦/𝑥2+𝑦2)

2. Operasi Biner

Bila 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2, maka:

a. 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 + (𝑥2 + 𝑖𝑦2) = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑖(𝑦1 + 𝑦2)

b. 𝑧1 − z2 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 − (𝑥2 + 𝑖𝑦2) = 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑖(𝑦1 − 𝑦2)

c. 𝑧1 z2 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 (𝑥2 + 𝑖𝑦2) = 𝑥1 𝑥2 − 𝑦1 𝑦2 + 𝑖(𝑥1 𝑦2 + 𝑦1 𝑥2)

d. z1/z2 = (𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 / 𝑥2 2 + 𝑦2 2) + i (𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 / 𝑥2 2+𝑦2 2) asal z2 ≠ 0

Sifat-sifat Operasi

1. Komutatif

𝑧1 + z2 = z2 + 𝑧1 𝑑𝑎𝑛 𝑧1 z2 = z2 𝑧1

2. Asosiatif

𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 𝑧1 + z2 + 𝑧3 𝑑𝑎𝑛 𝑧1 𝑧2 𝑧3 = (𝑧1 𝑧2) 𝑧3

3. Distributif

𝑧1 𝑧2 + 𝑧3 = 𝑧1 z2 + 𝑧1 z2

Contoh soal

Biar kamu lebih paham, yuk simak dua soal beserta pembahasannya, yang dikutip dari buku Matematika Tingkat Lanjut untuk SMA Kelas XI oleh Al Azhary Masta, dkk.

1. Tentukan apakah setiap bilangan kompleks berikut sama atau berbeda.

a. 𝑧1­ = 3 - 2i dan z 2 ­= 4 + 2i

b. 𝑧1 ­+ 1 dan z 2 = z2 = 1 + i

Penyelesaian:

a. Bilangan kompleks 𝑧1 = 3 - 2i berbeda z2=4 - 2i, karena bagian real dari 𝑧1 adalah 3 dan bagian real dari z2 adalah 4.

Bagian imajiner dari 𝑧1 adalah -2 dan bagian imajiner dari z2 adalah 2. Karena Re(𝑧1) ≠ Re(z2) 1 2 ≠ dan Im(𝑧1) z z Im(z2) 1 2 ≠ maka diperoleh 𝑧1 ≠ z2.

b. Bilangan kompleks 𝑧1 = 1 + i berbeda z, = 1- i , meskipun Re (𝑧1) = Re (z₂) , namun bagian imajiner dari z, adalah 1 dan bagian imajiner dari z , adalah -1 . Dikarenakan Im(𝑧1) ≠ Im(z₂), maka diperoleh z₁ = z₂ .

Nah, itulah ulasan terkait bilangan kompleks dalam matematika. Selamat belajar detikers!

Video Trump Sebut Mahasiswa Tak Bisa Hitung 2+2 tapi Malah ke Harvard

Video Trump Sebut Mahasiswa Tak Bisa Hitung 2+2 tapi Malah ke Harvard