.webp)
Di tingkat SMA, matematika mencakup berbagai topik penting seperti pertidaksamaan linear, sistem persamaan, hingga logaritma. Menguasai konsep-konsep ini adalah kunci untuk sukses dalam ujian dan melanjutkan pendidikan ke jenjang yang lebih tinggi.
Apakah kamu kesulitan memahami rumus-rumus matematika di SMA? Artikel ini dirancang untuk membantu kamu memahami konsep dasar yang sering muncul dalam ujian. Dengan penjelasan sederhana dan contoh soal yang jelas, Yuk, simak!
1. Pertidaksamaan Linear
Rumus Dasar:
SCROLL TO CONTINUE WITH CONTENT
ax + b > c, ax + b < c, ax + b β₯ c, ax + b β€ c
Contoh:
Temukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x - 2 > 7.
Penyelesaian:
Tambahkan 2 ke kedua ruas: 3x > 9
Bagi kedua ruas dengan 3: x > 3
Himpunan penyelesaian: {x | x > 3} (himpunan semua bilangan x yang lebih dari 3)
2. Persamaan Linear
Rumus Dasar:
ax + by = c
dx + ey = f
Contoh:
Selesaikan sistem persamaan berikut:
2x + y = 5
x - y = 1
Penyelesaian:
Metode eliminasi:
Jumlahkan kedua persamaan: 3x = 6 sehingga x = 2.
Substitusi x = 2 ke salah satu persamaan (misal yang pertama): 2(2) + y = 5, maka y = 1.
Himpunan penyelesaian: {(2, 1)}
3. Persamaan Kuadrat
Rumus Dasar:
axΒ² + bx + c = 0
Rumus ABC: x = (-b Β± β(bΒ² - 4ac)) / 2a
Contoh:
Tentukan akar-akar persamaan xΒ² - 5x + 6 = 0.
Penyelesaian:
Faktorisasi: (x - 2)(x - 3) = 0
Akar-akar: x = 2 atau x = 3
4. Fungsi Kuadrat
Rumus Dasar:
f(x) = axΒ² + bx + c
Titik puncak: x = -b / 2a
Contoh:
Gambarlah grafik fungsi f(x) = xΒ² - 4x + 3.
Penyelesaian:
Titik puncak: x = -b / 2a = -(-4) / 2(1) = 2
Substitusi x = 2 ke fungsi: f(2) = 2Β² - 4(2) + 3 = -1
Titik puncak: (2, -1)
5. Trigonometri
Rumus Dasar:
sinΒ² ΞΈ + cosΒ² ΞΈ = 1
tan ΞΈ = sin ΞΈ / cos ΞΈ
Dan masih banyak lagi identitas trigonometri lainnya
Contoh:
Jika sin ΞΈ = 3/5, hitunglah cos ΞΈ dan tan ΞΈ.
Penyelesaian:
Gunakan identitas trigonometri: sinΒ² ΞΈ + cosΒ² ΞΈ = 1
(3/5)Β² + cosΒ² ΞΈ = 1
cosΒ² ΞΈ = 16/25
cos ΞΈ = Β± 4/5 (karena ΞΈ berada di kuadran I atau II, maka cos ΞΈ = 4/5)
tan ΞΈ = sin ΞΈ / cos ΞΈ = (3/5) / (4/5) = 3/4
6. Relasi dan Fungsi
Rumus Dasar:
Fungsi: Setiap anggota domain dipasangkan dengan tepat satu anggota kodomain.
Contoh:
Tentukan domain dan range dari fungsi f(x) = β(x - 2).
Penyelesaian:
Menentukan Domain
Agar akar kuadrat terdefinisi, nilai di dalam akar haruslah lebih besar atau sama dengan 0. Jadi, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan berikut:
x - 2 β₯ 0
Dengan menambahkan 2 ke kedua ruas, kita dapatkan:
x β₯ 2
Jadi, domain dari fungsi f(x) = β(x - 2) adalah x β₯ 2. Artinya, kita hanya boleh memasukkan nilai x yang lebih besar atau sama dengan 2 ke dalam fungsi ini.
Menentukan Range
Karena akar kuadrat selalu menghasilkan nilai yang tidak negatif (0 atau bilangan positif), maka nilai minimum dari f(x) adalah 0. Ketika x semakin besar dari 2, nilai f(x) juga akan semakin besar.
Jadi, range dari fungsi f(x) = β(x - 2) adalah y β₯ 0. Artinya, nilai y yang dihasilkan oleh fungsi ini selalu lebih besar atau sama dengan 0.
Kesimpulan
Domain: {x | x β₯ 2}
Range: {y | y β₯ 0}
7. Eksponen
Rumus Dasar:
aβΏ * aα΅ = aβΏβΊα΅
(aβΏ)α΅ = aβΏα΅
aβ»βΏ = 1/aβΏ
Contoh:
Sederhanakan bentuk 2Β³ * 2β»ΒΉ.
Penyelesaian:
2Β³ * 2β»ΒΉ = 2Β³βΊβ»ΒΉ = 2Β²
Jadi, bentuk sederhana dari 2Β³ * 2β»ΒΉ adalah 2Β² atau 4.
8. Logaritma
Rumus Dasar:
logβ b = n jika dan hanya jika aβΏ = b
Contoh:
Hitunglah nilai dari logβ 8.
Penyelesaian:
Kita ingin mencari nilai n sehingga 2βΏ = 8.
Dengan mudah kita bisa lihat bahwa 2Β³ = 8.
Jadi, logβ 8 = 3.
Artinya, kita harus pangkatkan 2 dengan 3 untuk mendapatkan 8.
9. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Rumus Dasar:
ax + by > c, ax + by < c, ax + by β₯ c, ax + by β€ c
Contoh:
x + 2y β€ 4.
Penyelesaian:
Ubah menjadi Persamaan:
Untuk memudahkan menggambar grafik, kita ubah tanda pertidaksamaan (β€) menjadi tanda sama dengan (=). Jadi, persamaannya menjadi:
x + 2y = 4
Buat Tabel Nilai:
Kita akan mencari dua titik yang melalui garis tersebut. Misalnya, ketika x = 0, maka:
0 + 2y = 4
y = 2
Jadi, kita punya titik (0, 2).
Ketika y = 0, maka:
x + 2(0) = 4
x = 4
Jadi, kita punya titik (4, 0).
10. Barisan dan Deret
Rumus Dasar:
Barisan aritmatika: Un = a + (n-1)b
Deret aritmatika: Sn = n/2 (a + Un)
Barisan geometri: Un = arβΏβ»ΒΉ
Deret geometri: Sn = a(1-rβΏ) / (1-r)
Contoh:
Tentukan suku ke-10 dari barisan 2, 5, 8, ...
Penyelesaian:
Kita akan menggunakan rumus suku ke-n pada barisan aritmatika:
Un = a + (n-1)b
Dengan mensubstitusikan nilai yang sudah kita ketahui, kita dapatkan:
Uββ = 2 + (10-1) * 3
Uββ = 2 + 9 * 3
Uββ = 2 + 27
Uββ = 29
Jadi, suku ke-10 dari barisan 2, 5, 8, ... adalah 29.
11. Mean, Median dan Modus
Rumus Dasar:
Mean: Jumlah semua data dibagi banyaknya data
Median: Nilai tengah setelah data diurutkan
Modus: Nilai yang paling sering muncul
Contoh:
Hitunglah mean, median, dan modus dari data 2, 3, 4, 4, 5.
Penyelesaian:
Menghitung Mean (Rata-rata)
Jumlahkan semua data: 2 + 3 + 4 + 4 + 5 = 18
Bagi dengan banyaknya data: 18 / 5 = 3.6
Jadi, mean dari data tersebut adalah 3.6.
Menghitung Median (Nilai Tengah)
Urutkan data: 2, 3, 4, 4, 5
Cari nilai tengah: Karena jumlah data ganjil, maka mediannya adalah angka yang tepat berada di tengah, yaitu 4.
Jadi, median dari data tersebut adalah 4.
Menghitung Modus (Nilai yang Sering Muncul)
Identifikasi angka yang paling sering muncul: Angka 4 muncul sebanyak 2 kali, lebih sering dari angka lainnya.
Jadi, modus dari data tersebut adalah 4.
12. Vektor
Rumus Dasar:
Penjumlahan vektor: Ditentukan secara geometri atau secara komponen
Perkalian skalar dengan vektor: Setiap komponen dikalikan dengan skalar
Contoh:
Jika vektor a = (2, 3) dan b = (-1, 4), hitunglah a + b.
Penyelesaian:
Kita akan menggunakan metode penjumlahan komponen:
a + b = (2 + (-1), 3 + 4)
a + b = (1, 7)
Jadi, a + b = (1, 7)
Itulah rumus dasar dan contoh soal dari matematika SMA yang sering ditemui. Semoga Bermanfaat!
Artikel ini ditulis M. Hasbi Fauzi, mahasiswa peserta Program Magang Merdeka di detikcom.
(afb/afb)
